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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
e) $f(x)=x \ln(x)$
e) $f(x)=x \ln(x)$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero, es decir, $x > 0$.
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Por lo tanto, el dominio de $f$ es $(0,+\infty)$.
$\textbf{2)}$ Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $(0,+\infty)$, el $0$ es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando $x$ tiende a $0$ por derecha para ver el comportamiento de la función:
$ \lim_{x \to 0^+} x \ln(x)$
Acordate que $\ln(x)$ tiende a $-\infty$ cuando lo adentro tiende a cero, por lo tanto estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito". Vamos a reescribir $f(x)$ de una manera conveniente para poder aplicar L'Hopital.
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$
Ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital.
$ = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} -x = 0$
Como el límite nos dio $0$, entonces en $x=0$ no tenemos asíntota vertical.
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$
$ \lim_{x \to +\infty} x \ln(x) = +\infty $
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
$ f'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} $
$ f'(x) = \ln(x) + 1 $
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$ \ln(x) + 1 = 0 $
$ \ln(x) = -1 $
$ x = e^{-1} = \frac{1}{e}$
Tenemos un punto crítico en \( x = \frac{1}{e} \).
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( 0 < x < \frac{1}{e} \)
b) \( x > \frac{1}{e} \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
a) Para \( 0 < x < \frac{1}{e} \)
$ f'(x) < 0 $, por lo tanto $f$ es decreciente
b) Para \( x > \frac{1}{e} \)
$ f'(x) > 0 $, por lo tanto $f$ es creciente
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.